Updated at 2021.4.26

Fourier Series

이 글을 수학으로 배우는 파동의 법칙 이라는 책을 읽고 정리하였고, 기존에 티스토리에 작성한 푸리에(Fourier) 급수 및 변환 글을 재 작성한 것이다.

소리와 빛 등 세상의 많은 것은 파동이다. 따라서 파동의 제대로 아는 것이 필수적이며, 그것을 수학으로 나타내는 방법을 알 필요가 있다.

푸리에의 대발견

❝

같은 형태를 반복하는 주기를 가진 파동은, 아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동의 결합이다.

그렇다면 어떻게 결합된 것인지를 정량화 해서 나타낼 수 있을까? 그렇게 하기 위해서는 우선 단순 파동을 수식으로 나타내는 일부터 시작해야 한다.

파동

파동에 대해서는 진폭, 주기, 주파수, 각속도, 위상차의 개념을 알아야 한다. 그 중에서 주기, 주파수, 각속도의 정의 및 관계는 아래와 같다.

• 주기(\(T\)): 파동이 한 번 진동하는 데 걸리는 시간 (단위: \(sec\))
• 주파수(\(f\)): 1초 동안에 진동하는 파동의 회수 (단위: \(Hz\))
• 각속도(\(\omega\)): 1초 동안에 회전하는 각도 (단위: \(rad/sec\))

\begin{align}T=\frac{1}{f}\end{align}

\begin{align}\omega = 2 \pi f = \frac{2\pi}{T}\end{align}

기본 파동의 표현

삼각함수는 직각삼각형에서 직각이 아닌 각을 택하고, 이 각에 대한 두 변의 비율의 관계이다. 이 삼각함수를 하기와 같이 확장할 수 있다.

• 90도일 때
• 90도 이상 또는 음수일 때
• 실수에서 복소수로의 확장

진폭이 \(a\) 이고 주기가 \(T\) 인 단순파동(사인파)는 다음과 같이 각속도를 이용하여 시간의 함수로 나타낼 수 있다.

\begin{align}f(t) = a \sin (\omega t + \theta) + a_0\end{align}

여기서 \(a_0\) 는 파동의 중심값, \(\theta\) 는 위상차임.

위의 수식은 삼각함수의 덧셈 정리를 활용하면 sin함수와 cos함수로 나눠서 쓸 수 있다.

\begin{align}f(t) = a_0 + a_1 \cos (\omega t) + + b_1 \sin (\omega t)\end{align}

위의 푸리에의 대발견을 주기적인 파동에 대해 좀 더 구체화 하여 나타내면 다음과 같다.

❝

주기적인 파동은 아무리 복잡해도, 기본 주파수의 정수배인 주파수의 파동들로 이루어져 있다.

푸리에 급수

온갖 복잡한 파동(가장 긴 주기가 \(T = 2\pi/\omega\) 일 때)을 단순한 파동으로 분해하는 공식은 다음과 같다.

\begin{align}\begin{split}f(t) &= a_0 \\&+ a_1 \sin\omega t + b_1 \cos\omega t\\&+ a_2 \sin 2\omega t + b_2 \cos 2\omega t\\ &+ \cdots \\ &+ a_n \sin n \omega t + b_n \cos n \omega t\end{split}\end{align}

또는

\begin{align}f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos n \omega t + b_n \sin n \omega t)\end{align}

\begin{align}\red{f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_n \cos \frac{2\pi n}{T} t + b_n \sin \frac{2\pi n}{T} t\Big)}\end{align}

주기가 있는 임의의 함수는 위의 수식의 계수들만 잘 선정하며 사인과 코사인 함수들의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 문제는 어떻게 이 계수들을 구할 것인가에 있다.

푸리에 계수

푸리에 계수는 삼각함수의 특성을 활용하면 쉽게 계산할 수 있다.

• 한 주기를 적분하면 영이 된다.

\begin{align}\int_0^T{\cos (\frac{2\pi n}{T} t) dt} = \int_0^T{\cos n\omega t dt} = 0\end{align}

• 삼각함수의 직교성
  • \(\sin (n\omega t) \times \sin (k\omega t)\) 를 0부터 \(T\) (두 단순파의 주기의 공배수, 즉 \(n\) 과 \(k\) 의 최대공약수, \(n\) 과 \(k\) 가 서로소이면 1으로 0부터 \(2\pi\))까지 적분하면 \(k=n\) 일 때를 제외하고는 0이 된다.
  • \(\cos (n\omega t) \times \sin (k\omega t)\) 는 항상 0이다.

\begin{align}\int_0^T{f(t)dt} = a_0T\end{align}

\begin{align}\int_0^T{f(t)\cos n\omega t dt} = a_n \frac{T}{2}\end{align}

\begin{align}\int_0^T{f(t)\sin n\omega t dt} = b_n \frac{T}{2}\end{align}

따라서 아래와 같이 각 계수를 구할 수 있고, 임의 파동에 대한 각 계수의 필터라고 생각할 수 있다.

\begin{align}\red{a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T{f(t)dt}}\end{align}

\begin{align}\red{a_n = \frac{2}{T} \int_0^T{f(t)\cos n\omega t dt}}\end{align}

\begin{align}\red{b_n = \frac{2}{T} \int_0^T{f(t)\sin n\omega t dt}}\end{align}

파동의 표현

푸리에 계수 값을 모두 구하면 푸리에 급수를 활용하여 원래 파동을 재 구성할 수 있다. 따라서 파동을 파형의 그림이 아니라, 주파수 별 진폭(푸리에 계수)의 도표 또는 그래프(스펙트럼)으로 기술 할 수 있다.

예를 들어, 아래 그래프는 x축은 주파수, y축은 진폭(계수값) 스펙트럼으로 표현했다. (아래 그래프는 주기가 10초로, 주파수(frequency)는 0.1인 경우)

위의 표현의 문제점은 한 주기의 시작 위치에 따라 값이 달라진다는 것이다. 샘플링 시작 위치를 다르게 하면 푸리에 계수 \(a_n, b_n\) 의 값이 달라진다.

• 이를 해결하기 위해서는 피타고라스 정리를 활용하여 \(d_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\)
• 복소수 도입 필요 (오일러 공식)

실습

톱니 모양 파동인 \(f(t)=t \text{, } (-\pi < t < \pi)\) 의 푸리에 계수를 구해 보자.

\begin{align}a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{tdt} = 0\end{align}

\begin{align}a_n = \frac{2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{t\cos n t dt} = 0\end{align}

\begin{align}b_n = \frac{2}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{t\sin n t dt} = \frac{2}{n} (-1)^{n+1}\end{align}

따라서,

\begin{align}f(t) = t = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} (-1)^{n+1} \sin n t\end{align}

Most Popular #3

Recent #3